ứng dụng của ƯCLN và BCNN

­­­­­

.......................... –«—...........................

&

BÀI TẬP LỚN CHƯƠNG II

–«—

NHÓM 4: 

Ứng dụng của ước chung bội chung

Khúc Thị Bích

Nguyễn Thị Nga

Vũ Tuấn Anh

    Ứng dụng 1:ứng dụng vào các bài toán chia hết

    Ứng dụng 2: ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên

    Ứng dụng 3: ứng dụng vào xét một số bài toán liên quan đến chia hết

.......................... –«—...........................

A.   KIẾN THỨC CHUNG VỀ ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG

      I.            ƯỚC CHUNG

1.     Định nghĩa

a)     Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó

b)    Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các  ước chung của các số đó.

c)     Các số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1. Còn nếu hai số nguyên bất kỳ trong chúng có ƯCLN là 1 thì chúng là các số nguyên tố sánh đôi hay nguyên tố cùng nhau đôi một .

2.     Cách tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1.

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: phân tích mõi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mõi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

3.     Cách tìm ƯCLN. Thuật toán Oclit.

Chú ý: với a, b ϵ Z+ đều tồn tại duy nhất cặp số q, r sao cho: a = bq + r. Với 0 ≤ r < b thì ta có (a, b) = (b,r).

a.       Cho a,b ϵ Z+ . Nếu một trong hai số là ước của số kia, chẳng hạn b|a thì ta có (a, b) = b hiển nhiên

b.       Nếu trường hợp trên không xảy ra thì ta có các hệ thức sau đây biểu thị một dãy phép chia có dư.

a = bq0 + r1                 0 ≤ r1 < b

                               ….

rn-2 = rn-1qn-1 + rn           0 ≤ r1 < rn-1

rn-1 = rnqn

Dãy phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán oclit thực hiện trên hai số a, b. Dãy này phải hữu hạn và thuật toán oclit phải kết thúc với một số dư rn+1 = 0.

    Theo chú ý mở đầu ta có:

(a, b) = (b, r1) =…= (rn-1, rn)

      Như vậy, ƯCLN của hai số a và b là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán owclit thực hiện trên a và b.

4.     Tìm số lượng ước của một số.

Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là axbycz…thì só lượng ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)…

 Thật vậy: các ước của A có dạng mnp…trong đó:

+ m có x + 1 cách chọn (là 1; a; a2;…; ax).

      + n có y+1 cách chọn (là 1; b; b2;…; by).

+ p có z+1 cách chọn (là 1; c; c2;…; cz).

Do đó số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z +1)…

   II.            BỘI CHUNG

1.     Định nghĩa:

a)     Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó

b)    Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

2.     Cách tìm bội chung nhỏ nhất cuả hai hay nhiếu số lớn hơn 1

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: phân tích mõi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mõi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

3.     Bội chung nhỏ nhất của nhiều số.

Cho các số a1, a2, a3,…, an. Đặt m2 = [a1, a2], m3 = [m2, a3],…, mn = [mn-1, an]. Ta được m = mn = [a1, a2, a3,…, an]

- Hệ quả 1: bội chung nhỏ nhất của nhiều số nguyên tố cùng nhau từng đôi một bằng tích của chúng.

- Hệ quả 2: nếu mỗi số trong các số a1, a2, a3,…, an nguyên tố cùng nhau từng đôi một mà chia hết cho một số m thì tích của chúng cũng chia hết cho số m đó.

B.   ỨNG DỤNG CỦA ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG

Ngoài các dạng bài tập liên quan đến tính ước chung và bội chung thông thường.  Dựa vào định nghĩa và tính chất của ước chung và bội chung ta có thể nêu nên vài ứng dụng của ước chung và bội chung vào giải các dạng bài toán sau:

      I.            ỨNG DỤNG 1: ỨNG DỤNG LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT

a)     Cở sở lý luận : dựa vào định nghĩa và một số tính chất của quan hệ chia hết. Định nghĩa: cho 2 số nguyên a và b với b 0. Nếu có một số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói rằng b chia hết cho a hay b là ước của a.

Tính chất chia hết của 2 số: a  b khi a = b.q

b)    Bài tập áp dụng: thường là các bài toán chứng minh chia hết.

Bài tập: tìm các số tự nhiên có hai chữ số sao cho mỗi số đều chia hết cho tích các chữ số của nó.

Phân tích: số tự nhiên có hai chữ số có dạng  = 10a+ b. từ giả thiết  a.b

ta có b  a và 10a   b, cùng với điều kiện 1≤ a, b≤ 9. Ta có lời giải sau:

Lời giải:

 Gọi số phải tìm là  do     a.b nên 1 ≤ a, b ≤ 9.

Vì  = 10a + b và    a nên b  a vậy b = ka, k Z⁺ , k ≤ 9.

Mặt khác ab  b nên 10a  b. Do đó 10a  ka, hay 10  k

Vậy k  {1; 2; 5}.

+ Nếu k = 1 thì b = a, vậy số phải tìm có dạng . Để    a² chỉ có số 11.

+ Nếu k = 2 thì số phải tìm có hàng đơn vị gấp đôi hàng chục, mặt khác b ≤ 9          nên a    {1; 2; 3; 4}. Trong đó các số 12, 24, 36, 48 có 12, 24, 36 thích hợp.

+ Nếu k = 5, do b ≤ 9 nên a = 1 vậy có số 15 là thích hợp.

Kết luận: các số cần tìm là 11, 12, 15, 24, 36.

F Rút ra nhận xét : dựa vào tính chất a  b nên ta có b = ka và (10a +b) b, ta có 10  k từ đó suy ra k để giải bài toán trên.

   II.            ỨNG DỤNG 2: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

a)    Cơ sở lý luận : phương trình có thể tách thành nhân tử.

b)    Bài toán áp dụng : giải phương trình nghiệm nguyên có thể tách thành nhân tử, ứng dụng cách tìm ước của 1 số.

Bài toán số 1 tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

                      3x – 2xy + 2y – 8 =0

Phân tích: Cần thêm bớt để phân tích vế trái thành nhân tử rồi dựa vào ước của       các số nguyên để tìm x,y

Lời giải:

3x – 2xy + 2y – 8 =0

ó3x – 3 – 2xy  + 2y  = 5

ó3(x – 1) – 2y(x – 1) = 5

ó(3 – 2y)(x – 1) = 5

Vì x,y Z  ð( 3 – 2y), (x – 1)  Z và (3 – 2y), (x – 1) là ước của 5.

Mà 5 = (-5).(-1) =(-1).(-5) = 5.1 = 1.5 nên ta có các trường hợp sau:

TH 1:

       ó  (không thích hợp)

TH 2:

      ó   (không thích hợp)

TH 3:

       ó  (không thích hợp)

TH 4:

       ó  (không thích hợp)

Vậy không có cặp (x,y) nguyên nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

F Rút ra nhận xét : nhờ có cách tìm ước của 1 số có thể tìm được nghiệm nguyên của phương trình.

Bài toán số 2 : tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :

x² – xy = 6x – 5y – 8 

Phân tích: Cần thêm bớt, tách để phân tích vế trái thành nhân tử rồi dựa vào ước của các số nguyên để tìm x,y

Lời giảim

x² – xy = 6x – 5y – 8 

ó x² – 5x – xy + 5y + x - 5 = -13

ó x(x - 5) – y(x – 5) +(x - 5) = -13

ó (x - 5)(x – y + 1) = -13

Vì x,y Z  ð (x - 5),(x – y + 1)  Z là ước của 13

Mà -13 = 1. (-13) = (-1).13nên ta có các trường hợp sau:

TH 1:

       ó  (thích hợp)

TH 2:

      ó   ( thích hợp)

Vậy cặp (x,y) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán: (x,y)= (6,20); (x,y)=(4,-8)

F Rút ra nhận xét : nhờ có cách tìm ước của 1 số có thể tìm được nghiệm nguyên của phương trình.

      I.            ỨNG DỤNG 3: ỨNG DỤNG VÀO XÉT MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HỂT

a)     Cơ sở lý luận: dựa vào định nghĩa và tính chất của quan hệ chia hết,của ƯC,ƯCLN và BC,BCNN

b)    Bài toán áp dụng :thường là những bài toán liên quan đến thực tế. Có thể ứng dụng  ước chung lớn nhất hoặc bội chung nhỏ nhất tùy bài áp dụng.

§  Trước hết là các dạng bài toán ứng dụng UC, UCNN ta có thể chia ra làm các dạng bài tập như sau:

    DẠNG 1: Bài toán liên quan đến diện tích,cắt nhỏ diện tích hình cho trước khi biết khích thước các cạnh thành các phần bằng nhau.

Bài toán 1:

Một căn phòng hình chữ nhật dài 6,25m, rộng 4,75m. Hãy tìm kích thước viên gạch lát nền hình vuông sao cho số viên gạch ít nhất và không phải xẻ viên nào để chèn vào các chỗ còn thừa.

Phân tích:

Kích thước gạch lát thường được tính theo centimet nên ta cũng phải đổi chiều dài, chiều rộng căn phòng thành centimet để tiện tính toán.

Chiều dài 6,25m = 625cm.

Chiều rộng 4,75m = 475cm.

Muốn gạch vừa vặn lát hết nền thì kích thước chiều rộng và chiều dài của căn phòng phải chia hết cho kích thước viên gạch hay kích thước viên gạch phải là ước chung của 625 và 475.

Lời giải:

      Đổi số đo chiều dài, chiều rộng căn phòng ra centimet. Ta có:

Chiều dài 6,25m = 625cm.

Chiều rộng 4,75m = 475cm.

      Để số gạch vừa vặn lát kín nền nhà mà không phải xẻ gạch ra viên nào thì kích thước gạch phải là ước chung của 625 và 475.

      Mặt khác để số lượng viên gạch ít nhất thì kích thước gạch phải là ước chung lớn nhất của 625 và 475, mà (625, 475) = 25 nên viên gạch hình vuông, cạnh 25cm.

    DẠNG 2: Bài toán mua bút

Bài toán 2: A và B mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có từ 2 bút trở lên và số bút ở các hộp đều bằng nhau. Tính ra A mua 20 bút, B mua 15 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Phân tích:

Số bút ở các hộp đều bằng nhau nên ta gọi số bút mõi hộp là a (a 2)

A mua 20 bút, B mua 15 bút mà a là số bút trong mỗi hộp nên

20 và 15 phải chia hết a hay a = UC(20,15)

Để tìm đc ước chung ta đi tìm UCLN(20,15)

Lời giải:

Gọi số bút chì trong mõi hộp là a.(a 2)

Ta phải có: 20  a; 15 a

Do đó a  UC(20,15) và a 2 ta tìm được :

UCLN(20,15)=5 nên UC(20,15)=  ;

Do đó a=5

Vậy số bút trong mỗi hộp là 5 chiếc

    DẠNG 3: Bài toán chia số lượng người hoặc vật

Bài toán3: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất  thành  mấy tổ để các bác sỹ cũng như các ý tá được chia đều vào mỗi tổ?

Phân tích:                                                                                                       

Gọi a là số tổ nhiều nhất được chia

Chia đều đội y tế đó thì 24 chia hết cho a, 108 chia hết cho a hay a=UCLN(24,108)

Lời giải:

Gọi a là số tổ.

Ta phải có 24 a, 108 a và a là lớn nhất

Do đó a là UCLN(24,108)

Ta tính được a =12

Chia được nhiều nhất thành 12 tổ

    DẠNG 4: Bài toán xếp hàng khi biết các số lượng cần xếp cần tính số hàng nhiều nhất có thể xếp

Bài toán4:

Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, 3 lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như  nhau để diễu hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được:

Phân tích:

Gọi a là số hàng dọc nhiều nhất có thể chia

3 lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như  nhau nên

54 chia hết a, 42 chia hết cho a, 48 chia hết cho a

Hay a=UCLN(54,42,48)

Lời giải:

Gọi số hàng dọc  nhiều nhất có thể xếp là a

Từ đâu bài ta phải có : 54 a ; 42 a ; 48 a và a lớn nhất.

Do đó a là ƯCLN(54,42,48).

54 = 2.3³

42=2. 3.7

48=2⁴.3

Từ đó ta tính được  a = 6.

F Vậy: Xếp được nhiều nhất thành 6 hàng dọc.

§  Bài toán ứng dụng BC, BCLN ta có thể chia ra làm các dạng bài tập như sau:

    DẠNG 1:  Bài toán xếp hàng khi biết số hàng có thể xếp

Bài toán 5: học sinh lớp 6c khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh trong khoảng từ  35 đến 60. Tính số học sinh của lớp 6C.

Phân tích: gọi a là số học sinh của lớp 6c. Khi đó a phải là bội của 2,3,4,8 do lớp lớp xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ.

               Để a nhỏ nhất thì a phải là BC của 2,3,4,8. Để tìm được só học sinh thảo mãn bài toán từ 35 đến 60 thì phải đi tìm BCNN.

Lời giải:  

 Gọi số học sinh lớp 6c là a. (35  60)

Theo bài :

Để lớp xếp hàng 2 vừa đủ thì a 2

Tương tự để xếp hàng 3, hàng 4, hàng 8 vừa đủ thì a  3; a 4; a 8

Vậy a là bội chung của 2,3,4,8

Ta có : BCNN (2,3,4,8) =24. Từ đây suy ra BC(2,3,4,8)=

Vây a = 48 thỏa mãn bài toán.

    DẠNG 2:  Bài toán xếp sách khi biết số sách xếp thành từng bó khác nhau

Bài toán 6: Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn , 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng 200 đến 500. Tính số sách.

Phân tích:

Gọi a là số sách , 200 a 500.

Sách xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn , 15 cuốn, 18 cuốn

Nên a chia hết cho 12,15,18 hay a= BC(10,12,15,18)

Để tìm BC ta đi tìm BCNN(10,12,15,18)

Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm đươc a

Lời giải:

Gọi số sách là a, thì a là bội chung của 10, 12, 15, 18 và 200 a 500.

BCNN(10, 12, 15, 18) = 180

BC(10, 12, 15, 18) {0, 180, 360, 540…}

Vậy a = 360.

    DẠNG 2:  Bài toán trồng cây

Bài toán7: Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mõi công nhân đội 1 phải trồng 8 cây, mõi công nhân đội 2 phải trồng 9 cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200

Phân tích:

Số cây mỗi đội trồng là như nhau nên gọi a là số cây mỗi đội trồng được

Mõi công nhân đội 1 phải trồng 8 cây, mõi công nhân đội 2 phải trồng 9 cây

Từ đây suy ra a chia hết cho 8, a chia hết cho 9 hay a = BC(8,9)

Mà muốn tìm được BC thì ta đi tìm BCNN

Số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200 có nghĩa là 100  a 200 từ đó ta suy ra a cần tìm.

Lời giải:

Gọi số cây mỗi đội phải trồng là a (100 a  200)

Ta có a  BC(8,9) và 100 a  200

Mà 8 = 2².3

      9 = 2.5

BCNN(8,9) = 22.32 =72

BC(8,9) =  

Vậy a =144

    DẠNG 4: Bài toán tìm số ngày,giờ làm chung hoàn thành công việc của 2,nhiều đối tượng

Bài toán 8: Tại bến sông có 3 chiếc thuyền. Chiếc thuyền thứ nhất cứ 5 ngày lại cập bến một lần, chiếc thứ hai cứ 7 ngày cập bến một lần, chiếc thứ ba cứ sau 12 ngày cập bến một lần. Hôm nay, cả ba chiếc cùng khởi hành từ bến sông, hỏi ít nhất sau bao nhiêu ngày nữa chúng lại cùng cập bến sông này?

Phân tích:

              Gọi A là số ngày mà chúng sẽ cùng cập bến tính từ hôm nay. Khi đó A phải là bội của 5, 7, 12.

             Để A nhỏ nhất, thì A phải là bội chung nhỏ nhất của các số nói trên

Lời giải:

 - Gọi A là số ngày mà 3 thuyền cùng cập bến tính từ hôm nay. Để thuyền thứ nhất cập bến thì A  5

Tương tự, để thuyền thứ hai và thứ ba cùng cập bến thì A 7 và A 12

Vậy A là bội chung của 5, 7, 12.

Mặt khác, để số ngày là ít nhất thì A phải là bội chung nhỏ nhất của ba số này.

Vậy A = BCNN (5, 7,12) = 420 (ngày).